Bilangan Bulat

1.      Pengertian

Menurut Baharin Samsudin (1994: 16), bilangan adalah jumlah atau kuantitas anggota suatu himpunan benda yang tertentu atau hasil suatu jawaban dari pertanyaan yang menyangkut jumlah tertentu. Sedangkan bilangan bulat (Baharin Samsudin, 1994:17) adalah suatu himpunan bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, nol dan bilangan positif.

ST Negoro dan B Harahap (1998: 36-39) menyatakan bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak, bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. Sedangkan bilangan bulat (St Negoro dan B Harahap, 1998:41) adalah bilangan yang terdiri dari bilangan asli atau bilangan bulat positif, bilangan nol, dan lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif serta himpunannya biasanya dilambangkan dengan huruf B.

Roy Hollads (1983:15) menuliskan bilangan adalah suatu ukuran dari besaran, tetapi juga dipakai dalam suatu cara abstrak (tak berwujud) tanpa menghubungkannya dengan “berapa banyak” atau pengukurannya. Terdapat bermacam-macam bilangan bulat, salah satunya adalah bilangan bulat yang artinya adalah suatu himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. (Roy Hollands, 1983: 17)

Dari jabaran  di atas dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah suatu himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif yang biasanya dilambangkan dengan huruf B.

2.      Operasi pada Bilangan Bulat

Pada bilangan bulat terdapat empat macam operasi hitung yang berlaku, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.  Keempat operasi hitung pada bilangan bulat ini erat sekali hubungannya dengan operasi hitung pada bilangan cacah, maka dari itu, siswa dituntut untuk memahami terlebih dahulu tentang opersai hitung pada bilangan cacah. (Muchtar A Karim, dkk, 1997: 184).

a.       Operasi Penjumlahan

Muchtar A Karim, dkk (1997: 184) menyatakan apabila a dan b bilangan bulat, maka definisi penjumlahannya adalah sebagai berikut:

^  a + b = (a + b), jika a dan b bilangan bulat tak negatif.

^  a + (-b) = a – b, jika a dan b bilangan bulat tak negatif serta a > b.

^  a + (-b) = 0, jika a dan b adalah bilangan bulat tak negatif serta a = b.

^  a + (-b) = -(b - a), jika a dan b adalah bilangan bulat tak negatif dan a < b.

Lebih lanjut lagi, Mochtar A Karim, dkk (1997: 185) menyatakan terdapat 7 sifat penjumlahan pada bilangan bulat, yaitu:

^  Sifat tertutup

Jika a dan b bilangan bulat, maka a + b juga bilangan bulat.

^  Sifat pertukaran

Jika a dan b bilangan bulat, maka a + b = b + a.

^  Sifat pengelompokan

Jika a, b , dan c adalah bilangan bulat, maka (a + b) + c = a + (b + c).

^  Sifat adanya unsur identitas

Ada bilangan bulat 0 yang bersifat a + 0 = 0 + a = a untuk semua bilangan bulat a.

^  Sifat adanya Invers Penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0. Bilangan b ini disebut invers atau lawan dari a dan biasanya dilambangkan dengan lambang (– a).

^  Sifat ketertambahan

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, dan a = b, maka a + c = b + c.

^  Sifat kanselasi

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, dan a + c = b + c, maka a = b.

b.      Operasi Pengurangan

Mochtar A Karim, dkk (1997: 186) mendefinisikan pengurangan bilangan bulat sebagai berikut:

^  Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a – b adalah sebuah bilangan bulat x yang bersifat b + x = a. dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa a – b = x jika dan hanya jika a = b + x.

^  Jika a dan b bilangan bulat, maka a – b = a + (-b). Sifat ini menyatakan bahwa a – b sama nilainya dengan a + lawan b. Oleh sebab itu, operasi pengurangan merupakan invers dari operasi penjumlahan.

c.       Operasi Perkalian

Definisi perkalian pada bilangan bulat menurut Mochtar A Karim (1997: 187) yaitu:

^  Jika a dan b bilangan cacah, maka (-a).(-b) = a . b

^  Jika a dan b bilangan cacah, maka a .(-b) = - (a.b).

Dengan kata lain:

^  Hasil kali dua bilangan bulat yang berlainan tanda adalah bilangan bulat negatif.

^  Hasil kali bilangan bulat dengan tnda yang sama adalah bilangan bulat positif.

Mochtar A Karim (1997:188) lebih lanjut menguraikan sifat- sifat perkalian pada bilangan bulat adalah sebagai berikut:

Ø  Sifat tertutup

Jika a dan b bilangan bulat, maka a. b juga bilangan bulat.

Ø  Sifat pertukaran

Jika a dan b bilangan bulat, maka a.b = b. a.

Ø  Sifat pengelompokan

Jika a, b , dan c adalah bilangan bulat, maka (a.b) .c = a . (b.c).

Ø  Sifat adanya unsur identitas

Ada bilangan bulat 1, jadi untuk setiap bilanga bulat a berlaku a. 1 = 1. a = a. bilangan bulat 1 disebut unsur identitas perkalian.

Ø  Sifat penyebaran Perkalian terhadap Penjumlahan.

Jika a, b, dan c bilangan bulat, maka:

a(b + c) = ab + ac, disebut penyebaran kiri.

(b + c)a = ba + ca, disebut penyebaran kanan.

Ø  Sifat ketergandaan.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, c jika a = b, maka a.c = b.c.

Ø  Sifat kanselasi

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c jika ac = bc dan c  0, maka a=b.

Selain sifat-sifat tersebut, terdapat teorema yang perlu dipahami terkait dengan perkalian bilangan bulat. Teorema tersebut adalah:

Ø  Jika a adalah bilangan bulat, maka (-1).a = (-a)

Ø  Jika a adalah bilangan bulat, maka – (-a) = a.

d.      Operasi Pembagian

Definisi pembagian pada bilangan bulat menurut Mochtar A Karim, dkk (1997: 189), adalah sebagai berikut:

Ø  Jika a dan b bilangan bulat dimana b  0, maka a dibagi b, ditulis a : b, adalah bilangan bulat x yang bersifat b.x = a

Untuk menentukan apakah hasil bagi bersifat negatif atau positif, digunakan pedoman pada perkalian yaitu:

-          Jika hasil bagi dua bilangan bulat positif atau bilangan bulat negatif dan  jika hasil bagi itu ada, adalah bilangan bulat positif.

-          Hasil bagi dua bilangan bulat yang berlainan tanda, jika hasilnya ada adalah bilangan bulat negatif.

Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Selain itu bilangan 0 memiliki sifat penting dalam pembagian. Sifat tersebut adalah sebagai berikut:

Ø  Jika a bilangan bulat yang bukan 0, maka 0 : a = 0. Jadi 0 : 5 = 0.

Ø  Jika a bilangan bulat, a : 0 adalah tidak terdefinisikan.